2020考研数学：高等数学（数三）知识重点及复习规划表

第一章   函数与极限

章节

复习知识点及作业

大纲要求

1.1

函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.注：一、集合 二、映射 P17-20双曲函数 （不用看）

习题1－1：4，5，8，9，15，16

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．

2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．

6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．

8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．

1.2

数列极限的定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 ) 注：用定义证明极限不用看

习题1－2：1，4，5，6注：记住4,5,6的结论，不用证明

1.3

函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）注：用定义证明极限不用看 习题1－3：1，2，4

1.4

无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系 

习题1－4：4，6，7

1.5

极限的运算法则(6个定理以及一些推论)

习题1－5：1，2，3，4,5

1.6

重点

两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼准则求极限，求递归数列的极限.

习题1－6：1，2，4

1.7

重点

无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法.习题1－7：1，2，3，4

1.8

重点

函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。

习题1－8：2，3，4，5

1.9

连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性)

习题1－9：3，4，5，6

1.10

重点

理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法).注：P72一致连续性 （不用看）

习题1－10：1，2，5

总复习题一：1，2，3,4,5，9，10，11，12

第二章   导数与微分

2.1

导数的定义、几何意义、经济意义（含边际与弹性的概念），单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方程.

 习题2－1：6，7，9，11，14，15，16，17，18,19,20

1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．

2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．

4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

2.2

重点

复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法.

习题2－2：2，3，5，7，8，10，11，14

2.3

重点

高阶导数求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）

习题2－3：2，3，10，11，12

2.4

重点

由参数方程确定的函数的求导法，隐函数的求导法，相关变化率

注：数学三不考由参数方程确定的函数的求导法，相关变化率

习题2－4：2，3，4，

2.5

函数微分的定义，微分的几何意义，微分运算法则 

注：P119 微分在近似计算中的应用（不用看）

习题2－5：2，3，4

总复习题二：1，2，3，5，6，7,8，9，10，11，14

第三章  微分中值定理与导数的应用

3.1

重点

微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义）

习题3－1：5－12

1．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．

2．会用洛必达法则求极限．

3．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．

4．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线．

5．会描述简单函数的图形．

3.2

重点

洛比达法则及其应用

习题3－2：1－4

3.3

重点

泰勒中值定理，麦克劳林展开式.

习题3－3：1－7，10

3.4

重点

求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进线（选择题及大题常考）

习题3－4：1，2，4，5，8，9， 12，13，14，15

3.5

重点

函数的极值,(一个必要条件,两个充分条件),最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题.

习题3-5:1,4,5,6,7

3.6

简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握.

习题3－6：2,4

3.7

注：数学三不考本节内容

3.8

注：数学三不考本节内容

总复习题三：1,2,4,6,7,8,10,11,12,20

第四章 不定积分

4.1

原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关系），基本的积分公式，原函数的存在性

 习题4－1：1，7

1.理解原函数与不定积分的概念

2.掌握不定积分的基本性质和基本积分公式

3.掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．

4.2

重点

换元积分法  习题4－2全部

4.3

重点

分部积分法 习题4－3全部

4.4

有理函数的积分 习题4－4 全部  

4.5

积分表的使用（不用看）

总习题四：全部

第五章 定积分

5.1

定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分的7个性质)  

注：P228定积分的近似计算（不考）

习题5－1：4，10，13

1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，

2.理解积分上限的函数并会求它的导数，

3.掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．

4.了解反常积分的概念，会计算反常积分

5.2

重点

微积分的基本公式 积分上限函数及其导数 牛顿－莱布尼兹公式   习题5－2：1－12

5.3

重点

定积分的换元法与分部积分法

习题5－3：1，2，3，4，6，7

5.4

反常积分 无界函数反常积分与无穷限反常积分

习题：5－4：1－3

5.5

反常积分的审敛法（不考） 

总复习题五：1，3，4，5，6，7，10，12，13

第六章  定积分的应用

6.1

定积分元素法

1.会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值

2.会利用定积分求解简单的经济应用问题．

6.2

重点

定积分的几何应用（求平面图形的面积，求旋转体的体积）

习题6－2：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,21,22

6.3

  注：本节数学三不考

总复习题六：1－6

第七章  微分方程

7.1

微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解）习题7-1：1，2，3，4，5

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．

2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．

3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．

4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．

5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．

6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．

7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．

7.2

重点

可分离变量的微分方程(可分离变量的微分方程的概念及其解法 )习题7-2：1，2

7.3

重点

齐次方程（一阶齐次微分方程的形式及其解法）

习题7－3：1，2

7.4

重点

一阶线性微分方程，伯努利方程

习题7—4：1，2 注：伯努利方程数学三不考

7.5

注：本节数学三不考

7.6

重点

高阶线性微分方程（微分方程的特解、通解）

习题7-6：1-4

7.7

重点

常系数齐次线性微分方程（特征方程，微分方程通解中对应项）

习题7-7：1，2

7.8

重点

常系数非齐次线性微分方程（会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程）

习题7-8：1，2

差分方程的一般概念，一阶和二阶常系数线性差分方程  

总复习题七：3，4，5，7

第八章  空间解析几何与向量代数   注：本章数学三不考

第九章  多元函数微分法及其应用

9.1

多元函数的基本概念（二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理）

习题9—1：5，6，7，8

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．

2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．

3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．

4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．

9.2

重点

偏导数(偏导数的概念，二阶偏导数的求解 )，

习题9—2：1，2，3，4，6，7，8，9

9.3

重点

全微分（全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件），习题9—3：1，2，3，5

注：全微分在近似计算中的应用

9.4

重点

多元复合函数的求导法则（多元复合函数求导，全微分形式的不变性）

习题9—4：1—12

9.5

重点

隐函数的求导公式（隐函数存在的3个定理）

习题9—5：1—10

9.6

注：本节数学三不考

9.7

注：本节数学三不考

9.8

重点

多元函数的极值及其求法（多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值）

习题9—8：1—12

总复习题九：1.3.4.5.6.8.9.10.11.12.19

注：9.9与9.10不用看

第十章  重积分

10.1

二重积分的概念与性质（二重积分的定义及6个性质），习题10－1：1，4，5

1.了解二重积分的概念与基本性质

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．

3.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．

10.2

重点

二重积分的计算法（会利用直角坐标计算二重积分，会利用极坐标计算二重积分），

习题10－2：1，2， 4，6，7，8，11，12，13，14，15

10.3

注：本节数学三不考

10.4

注：本节数学三不考

总复习题十： 2.3.4.5.6.

第十一章  曲线积分与曲面积分    注：本章数学三不考

第十二章  无穷级数

12.1

常数项级数的概念和性质（常数项级数的概念，收敛级数的基本性质）

习题12－1：1-4

注：P254 柯西审敛原理不考

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

  2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.

  3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.

  4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

  5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.

  6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

  7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

  8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

  9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

12.2

常数项级数的审敛法（正项级数及其审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛）

习题12－2：1-5  

注：P265 绝对收敛级数的性质不考

12.3

重点

幂级数（幂级数及其收敛性，幂级数的运算）

习题12－3：1.2. 

12.4

函数展开成幂级数

习题12-4:1.2.3.4.5.6.7 

总习题十二：1-10