考研数学出题老头的惯用伎俩：偷换概念

聚英考研信息网小编发现在考研数学2004年的真题中出现过一道关于导数定义方面，最纠结的一个问题，但是，做完这道题，你会对导数定义有一个更深的理解。

问题：设函数f(x)连续，且f’(0)>0，则存在δ>0，使得（）

A.  f(x)在(0, δ)内单调增加            

B. f(x)在(-δ,0)内单调减少

C. 对任意x∈(0, δ)，有f(x)>f(0)        

D. 对任意x∈(-δ,0)，有f(x)>f(0)

先说正确答案，C选项，根据导数定义和极限的保号性就能得出结论，简单描述一下，首先在0点处导数定义是：

这个式子有分子和分母，分母只有一个x，当x∈(0, δ)时肯定大于0，分子是一个减法f(x)-f(0)，根据已知，由于在0点的导数大于0，保号性可得在邻域内导数定义整个分式一定大于0，因此分子也得大于0，f(x)- f(0)>0，因此C选项正确。

这个结果完全没问题，但是有些同学细一琢磨，发现问题不是这么的简单，为什么A选项不对？

假如我们从A选项的角度分析这道题：

f’(0)>0，根据极限的保号性可知，在x的一个小邻域(-δ, δ)内f’(x)那就应该取正值，这样的话，就可以判断在x的这个邻域内f’(x)>0，然后立即推，函数单调增加，答案是选A。

但是，相信同学读到这以后已经蒙逼了，这就是出题老头的惯用伎俩：偷换概念。

在哪偷换概念了？我们来回顾一下极限的保号性这个性质。

极限的保号性：若lim f(x)=A(x→x0)(A>0),则在点x=x0的某个去心邻域上，必有f(x)>0，反之，极限A小于0则函数在某个去心邻域上均取负值。看出问题来了吗？

保号性的结论，自然没什么问题，但是这个问题的根源在于前提，请仔细观察，极限的保号性要想成立的话，需要什么前提？

前提是这个：limf(x)=A(x→x0)

所以，这个式子说明什么？

说明函数在这个点有极限。

回到上面的那道2004年考研数学真题，如果想对导函数直接使用保号性，那么就必须要有这个前提：lim f’(x)(x→0)=A，可是这题里面有没有这个条件呢？

有些同学回答了：有啊，你看f’(0)>0，这不就是说lim f’(x)(x→0)=A>0嘛。

但是，f’(0)>0说的是什么？

函数在一点导数大于0，limf’(x)(x→0)=A>0说的是什么，导函数在这点极限存在且大于0，所以，函数在一点的导数和导函数在一点的极限是一回事儿吗？当然不是了。

这点知识比较绕，聚英小编用数学符号来给你阐述一下，函数在一点的导数是什么？

再看导函数在一点的极限是什么？

看出来了吗？一个是取一次极限，一个是在极限算出来的基础上再取一次极限，相当于取了一个二次极限，这俩完全就是两个概念，风马牛不相及，既然在一点导数存在不能推导函数在这点极限存在，那么导函数的保号性就没法使用了，因此A选项的分析，前提错误，结论自然站不住脚。

本文的主要议题就是函数在一点导数存在，和导函数在这一点极限存在之间的区别和关系，通过以上例题和解析，最终的结论是，这俩完全没关系，那么具体怎么没关系，有没有什么可以说明这个的反例？

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