会计硕士数学提高指导：数列的超实用解法

  为了帮助大家夯实基础，今天聚英考研网向考生推出MPAcc数学提高指导。大家可详细研读本篇数列解法和例题，帮助考生快速解决任何MPAcc应试数学中数列问题。

  基本数列是等差数列和等比数列

  一、等差数列一个等差数列由两个因素确定：

  首项a1和公差d. 得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式)：

  1、首项a1和公差d 2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n) 3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

  等差数列的性质：

  1、前n项和为n的二次函数(d不为0时) 2、a(m)-a(n)=(m-n)*d 3、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列

  例题1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25) 解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8 a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40 a(25)=48

  例题2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12) 解：a(6)、a(9)、a(12)成等差数列 a(12)-a(9)=a(9)-a(6) a(12)=2*a(9)-a(6)=25

  二、等比数列一个等比数列由两个因素确定：

  首项a1和公差d. 得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式)：

  1、首项a1和公比r 2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n) 3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

  等比数列的性质：

  1、a(m)/a(n)=r^(m-n) 2、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列 3、等比数列的连续m项和也是等比数列即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。

  三、数列的前n项和与逐项差

  1、如果数列的通项公式是关于n的多项式，最高次数为p，则数列的前n项和是关于n的多项式，最高次数为p+1。(这与积分很相似)

  2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。如果数列的通项公式是关于n的多项式，最高次数为p，则数列的逐项差的通项公式是关于n的多项式，最高次数为 p-1。(这与微分很相似)

  例子： 1，16，81，256，625，1296 (a(n)=n^4) 15,65,175,369,671 50,110,194,302 60,84,108 24,24 从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。

  等比数列的逐项差还是等比数列

  四、已知数列通项公式a(n)，求数列的前n项和s(n)。这个问题等价于求s(n)的通项公式，而s(n)=s(n-1)+a(n)，这就成为递推数列的问题。解法是寻找一个数列b(n)，使s(n)+b(n)=s(n-1)+b(n-1)从而s(n)=a(1)+b(1)-b(n)猜想b(n)的方法：把a(n)当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用b(n)-b(n-1)=-a(n)求出待定系数。

  例题1：求 s(n)=2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n 解：s(n)=s(n-1)+n*2^n n*2^n积分得(n*ln2-1)*2^n/(ln2)^2 因此设b(n)=(pn+q)*2^n 则 (pn+q)*2^n-[p(n-1)+q)*2^(n-1)=-n*2^n (p*n+p+q)/2*2^n=-n*2^n 因为上式是恒等式，所以p=-2，q=2 b(n)=(-2n+2)*2^n a(1)=2，b(1)=0 因此：s(n)=a(1)+b(1)-b(n) =(2n-2)*2^n+2

  例题2：a(n)=n*(n+1)*(n+2)，求s(n)解法1：s(n)为n的四次多项式，设：s(n)=a*n^4+b*n^3+c*n^2+d*n+e 利用s(n)-s(n-1)=n*(n+1)*(n+2)解出a、b、c、d、e 解法2： s(n)/3!=c(3，3)+c(4，3)+...c(n+2，3) =c(n+3，4) s(n)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/4

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