2018考研数学基础知识点：数列递推到N球配对

  数学是很多考研学子的烦恼，特别是对于学文科的考生来说，数学不擅长，复习起来吃不透知识点，慢慢积累起来就会成为大问题。数学的学习还是要从基础的知识点来开始着手，一点一点讲知识点吃透。聚英考研网的小编为大家整理了考研数学的基础知识点：数列递推到N球配对的知识，希望对大家有所帮助。

 

 

  简单递推数列通项公式的通用解法，并由此思路解一个老题：

  以下记A(N)为数列第N项

  1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求数列通项公式

  解：由题意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]

  即 A(N)+1是以2为首项，2为公比的等比数列

  因此 A(N)+1=2^N

  数列通项公式为 A(N)=2^N-1

  2、通用算法

  已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求数列通项公式

  解：设 A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

  解得 X=Q/(P-1)

  因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)为首项，P为公比的等比数列

  由此可算出A(N)通项公式

  3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求数列通项公式

  解题思路：设 A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

  代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出

  A(N)+X*A(N-1)的通项公式

  再解二元一次方程得出A(N)

  注：可能只有一组解，但另有解决办法。

  4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：

  N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。

  解：设A(N)为球数为N时满足条件的放法(以下称无配对放法)总数，

  易知A1=0，A2=1

  当N>2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子

  在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，

  问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A(N-2)

  在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，

  则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，

  放法总数为：A(N-1)

  因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

  上式可变换为： A(N)-NA(N-1)

  =-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

  按等比数列得出： A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

  上式除以N!得出：

  A(N) A(N-1) (-1)^N

  ------- = ---------------- + -----------------

  N! (N-1)! N!

  把 A(N)/N!当作新的数列， 把(-1)^N/N!也作为一个数列

  则 A(N)等于数列 (-1)^N/N!从第二项到第N项的和再乘以N

  另外可得出：

  N球恰有K球与盒子配对的放法总数为： C(N，K)*A(N-K)

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