2017年同济大学数学系（数学科学学院）硕士研究生考试大纲

科目代码

科目名称

考试大纲

609

高等代数

一、总体要求

1．要求考生理解《高等代数》中的基本概念、基本理论。

2．要求考生掌握《高等代数》中的基本定理 和方法。

3．要求考生具有运用《高等代数》中的基本 理论、方法，通过正确计算和严密推理、

论证 来解决本课程中基本问题的能力。

 二、考试内容及范围

1．一元多项式理论：包括整除、互素多项式、最大公因式（最小公倍式）、实、复数域上

多项式因式分解、有理数域上多项式理论等。

2．矩阵代数：包括矩阵运算、初等矩阵与初 等变换，矩阵标准型，可逆矩阵的性质、判别

与计算，伴随矩阵性质，几种特殊矩阵等

3．行列式：包括行列式性质，行列式计算， 克莱姆法则等。

4．矩阵的秩：包括向量组的线性相关性，矩 阵秩的等价定义，矩阵（向量组）秩的不等式，

求向量组（矩阵）的秩及极大无关组等。

5．线性方程组：包括方程组解的判别，方程 组解的结构，方程组的求解等。

6．线性空间：包括定义与性质，子空间，基 与维数，基变换与坐标变幻，子空间的和与直线性空间的同构，

线性函数与对偶空间。

7．线性变换与相似矩阵：包括线性变换的定 义与性质，线性变换的矩阵， 相似矩阵的性 质，特征值与特征向量，

对角化问题，不变子 空间与根空间分解等。

8．-矩阵：包括-矩阵的标准型，余式定理， 行列式因子、不变因子、初等因子间的关系， 若当标准型等。

9．内积空间：包括定义与性质，标准正交基 与矩阵的 ，正交子空间，保长同构与正交（ 酉）变换，埃厄米特（实对称）矩阵

与酉（正 交）相似标准型等。

10．双线性函数与二次型：包括双线性函数 的定义与性质，二次型的标准型、规范型，正 定二次型与正定矩阵，矩阵的奇异值分解等 

三、考试题型与比例

1．计算题60%

2．证明题40%

832

数学分析

考试要求：

一、总体要求

数学分析不仅是大学本科阶段数学系学生的一 门重要的基础课程，而且也是数学系各专业研究生阶段

的许多课程的重要基础。这些课程从 本质上来说是数学分析的延伸、深化或应用。 数学分析的基本概念、

思想和方法，更可以说 是无处不在的。因此考生必须：

1、理解和掌握数学分析的基本概念、思想和 方法；

2、能够熟练地运用数学分析的基本原理、公式等解法推理论证和计算问题； 二、考试内容 数学分析通常以

一元微积分学、多元微积分学 以及与之相关的内容为主的基本内容，这些都 在考试的范围之内，较具体而言，有

1、集合与映射：集合的概念与运算；映射的 概念、复合映射与逆映射的概念；

2、一元函数的概念，表示方式；函数的四则 运算、复合函数、反函数的概念；基本初等函 数和初等函数；

3、数列极限的定义、性质，重要的数列极限 及其数列极限的运算；

4、函数极限的定义、性质、重要的函数极限 及其函数极限的运算；

5、函数的连续和间断、初等函数的连续性、 闭区间上连续函数的性质；

6、导数的概念及运算法则，基本初等函数的 导数及初等函数的求导，隐函数与参数方程表 示的函数的求导、

高阶导数的概念及求导法；

7、微分、高阶微分的概念、性质及运算；

8、导数的应用：微分中值定理、L' Hospital法则、函数性质的讨论与作图、最值 问题的求解；

9、不定积分的基本概念、基本公式及运算；

10、定积分的概念、性质（包括积分第二中 值定理）；

11、微积分基本定理、定积分的计算及应用；

12、定积分理论：达布上、下和函数可积的 充分必要条件、可积函数表；

13、实数系的连续性与完备性：确界的定义 与确界存在定理、单调有界数列极限存在定理、闭区间定理、

有界数列必有收敛数列定理、 柯西收敛原理，有限覆盖定理；

14、反常积分的概念及敛散性的判别法；

15、数项级数的基本概念和性质，敛散性的 判别法、收敛级数的性质及无穷乘积的基本概 念和性质、敛散性的判别法；

16、函数项级数一致收敛性的概念及其判别 法，一致收敛的函数项级数的性质；

17、幂级数及函数的幂级数展开；

18、傅立叶级数及其收敛性与性质；

19、欧几里德空间上点集拓扑的基本概念及 基本定理；

20、欧几里德空间上映射的极限和连续：多 元函数的极限和连续、有界闭区域上连续函数 的性质；

多元向量值函数，即欧几里德空间上 的映射的极限和连续，有界闭集上连续映射的 性质；

21、偏导数和全微分的概念、高阶偏导数和 高阶全微分的概念；

22、偏导数、高阶偏导数的计算，复合函数 求导的链式法则、向量值函数的导数的概念和

复合向量值函数的链式法则；

23、隐函数存在定理和隐函数求导法；

24、偏导数的几何应用、方向导数和梯度；

25、多元函数的极值、最值和条件极值、最 值问题；

26、重积分的概念、性质基本计算方法及变 量代换、重积分的应用；

27、反常重积分的概念；

28、曲线积分和曲面积分的概念、性质、基 本计算方法及应用；

29、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及 场论初步；

30、含参变量的常义积分及反常积分的概念，含参变量反常积分一致收敛的概念与判别法、

含参变量反常积分的性质、欧拉积分；

 三、考试题型与比例

1、计算解答题40%需要有必要的解题过程；

2、证明题60%.