华中科技大学2017年硕士研究生602数学综合考试大纲

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  科目代码（602）

  一、函数、极限、连续
  考试内容
  函数的概念及表示法  函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性  复合函数、反函数、分段函数和隐函数  基本初等函数的性质及其图形  初等函数  简单应用问题的函数关系的建立。
  数列极限与函数极限的定义以及它们的性质  函数的左极限与右极限  无穷小和无穷大的概念及其关系  无穷小的性质及无穷小的比较  极限的四则运算  极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则  两个重要极限：
  函数连续的概念  函数间断点的类型  初等函数的连续性  闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)
  考试要求
  1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
  2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
  3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
  4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
  5．会建立简单应用问题中的函数关系式。
  6．理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
  7．掌握极限的性质及四则运算法则。
  8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
  9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
  10．理解函数的连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。
  11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
  二、一元函数微分学考试内容
  考试内容
  导数和微分的概念  导数的几何意义和物理意义  函数的可导性与连续性之间的关系  平面曲线的切线和法线  基本初等函数的导数  导数和微分的四则运算  复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法  高阶导数的概念  简单函数的n阶导数  微分在近似计算中的应用  罗尔(Rolle)定理  拉格朗日(Lagrange)中值定理  柯西(Cauchy)中值定理  泰勒(Taylor)定理  洛必达(L’Hospital)法则  函数的极值及其求法  函数单调性  函数图形的凹凸性、拐点及渐近线  函数图形的描绘  函数最大值和最小值的求法及简单应用  弧微分  曲率的概念 两曲线的交角。
  考试要求
  1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
  2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。
  3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
  4．会求分段函数的一阶、二阶导数。
  5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的一阶、二阶导数。
  6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。
  7．了解并会用柯西中值定理。
  8．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
  9．会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
  10．掌握用洛必达法则未定式极限的方法。
  11．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。
  三、一元函数积分学
  考试内容
  原函数和不定积分的概念  不定积分的基本性质  基本积分公式  定积分的概念和基本性质  定积分中值定理  变上限定积分定义的函数及其导数  牛顿-莱布尼茨公式  不定积分和定积分的换元积分法部积分法  有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分  反常积分的概念和计算  定积分的应用
  考试要求
  1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。
  2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
  3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
  4．会求变上限定积分定义的函数的导数，掌握牛顿-莱布尼式茨公式。
  5会计算广义积分。
  6了解定积分的近似计算法。
  7掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 (平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等)。
  四、向量代数和空间解析几何
  考试内容
  向量的概念  向量的线性运算  向量的数量积和向量积的概念及运算  向量的混合积  两向量垂直、平行的条件  两向量的夹角  向量的坐标表达式及其运算  单位向量  方向数与方向余弦  曲面方程和空间曲线方程的概念  平面方程、直线方程  平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角  点到平面和点到直线的距离  球面  母线平行于坐标轴的柱面  旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程  常用的二次曲面方程及其图形  空间曲线的参数方程和一般方程  空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
  考试要求
  1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
  2．掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件。
  3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
  4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
  5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
  6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。
  7．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
  五、多元函数微分学
  考试内容
  多元函数的概念  二元函数的几何意义  二元函数的极限和连续的概念  有界闭区域上的多元连续函数的性质  多元函数偏导数和全微分的概念  全微分存在的必要条件和充分条件  全微分在近似计算中的应用  多元复合函数、隐函数的求导法  二阶偏导数  方向导数和梯度的概念及其计算  空间曲线的切线和法平面  曲面的切平面和法线  二元函数的二阶泰勒公式  多元函数极值和条件极值的概念  多元函数极值的必要条件  二元函数极值的充分条件  极值的求法  拉格朗日乘数法  多元函数的最大值、最小值及其简单应用。
  考试要求
  1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
  2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
  3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分
  条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。
  4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
  5．掌握多元复合函数偏导数的求法。
  6．会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。
  7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
  8．了解二元函数的二阶泰勒公式。
  9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
  六、多元函数积分学
  考试内容
  二重积分、三重积分的概念及性质  二重积分与三重积分的计算和应用  两类曲线积分的概念、性质及计算  两类曲线积分的关系  格林(Green)公式  平面曲线积分与路径无关的条件  已知全微分求原函数  两类曲面积分的概念、性质及计算  两类曲面积分的关系  高斯(Gauss)公式  斯托克斯(Stokes)公式  散度、旋度的概念及计算  曲线积分和曲面积分的应用。
  考试要求
  1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
  2．掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
  3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
  4．掌握计算两类曲线积分的方法。
  5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
  6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
  7．了解散度与旋度的概念，并会计算。
  8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。
  七、无穷级数
  考试内容
  常数项级数的收敛与发散的概念  收敛级数的和的概念  级数的基本性质与收敛的必要条件  几何级数与p级数以及它们的收敛性  正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法  交错级数与莱布尼茨定理  任意项级数的绝对收敛与条件收敛  函数项级数的收敛与和函数的的概念  幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域  幂级数的和函数  幂级数在其收敛区间内的基本性质  简单幂级数的和函数的求法  函数可展开为泰勒级数的充分
  必要条件 ex、sinx、cos x、ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林(Maclaurin)展开式  幂级数在近似计算中的应用  函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数  狄利克雷(Dirichlet)定理  函数在［-l，l］上的傅里叶级数  函数在［0，l］上的正弦级数和余弦级数。
  考试要求
  1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
  2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。
  3．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。
  4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
  5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
  6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
  7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
  8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
  9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
  10．掌握ex，sinx， cosx，ln(1+x)和(1+x)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
  11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。
  12．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在［-l，］上的函数展开傅里叶级数，会将定义在［0，l］上的函数展开为正弦级数与余弦数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
  八、常微分方程
  考试内容
  常微分方程的概念  微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解  变量可分离的方程  齐次方程  一阶线性方程  伯努利(Bernoulli)方程  全微分方程   可用简单的变量代换求解的某些微分方程  可降价高阶微分方程  线性微分方程解的性质及解的结构定理  二阶常系数齐次线性微分方程  高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程  简单的二阶常系数非齐次线性微分方程  欧拉(Euler)方程  包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组  微分方
  程的幂级数解法  微分方程(或方程组)的简单应用问题。
  考试要求
  1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
  2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
  3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
  4．会用降低阶法解下列方程：y(n)=f(x)，y″=(x，y′)和y″=f(y，y′)
  5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
  6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
  7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
  8．了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
  9．会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。
  线性代数
  一、行列式
  考试内容
  行列式的概念和性质  行列式按行(列)展开定理
  考试要求
  1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
  2．会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
  二、矩阵
  考试内容
  矩阵的概念  单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质  矩阵的线性运算  矩阵的乘法  方阵的幂  方阵乘积的行列式  矩阵的转置  逆矩阵的概念和性质  矩阵可逆的充分必要条件  矩阵的伴随矩阵  矩阵的初等变换  初等矩阵  矩阵等价  矩阵的伴随矩阵  矩阵的初等变换  初等矩阵  矩阵等价  矩阵的秩  初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法  分块矩阵及其运算。
  考试要求
  1．理解矩阵的概念。
  2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对矩阵，以及它们的性质。
  3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。
  4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。
  5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
  6．了解分块矩阵及其运算。
  三、向量
  考试内容
  向量的概念  向量的线性组合和线性表示  向量组的线性相关与线性无关  向量组的极大线性无关组  等价向量组  向量组的秩  向量组的秩与矩阵的秩之间的关系  向量空间、子空间、基底、维数及坐标等概念  n维向量空间的基变换和坐标变换  过渡矩阵  向量的内积  线性无关向量组的正交规范化方法  标准正交基  正交矩阵及其性质。
  考试要求
  1．理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示。
  2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会有用有关向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
  3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
  4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。
  5．了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。
  6．掌握基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。
  7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特(Schmidt)方法。
  8．了解标准正交基、正交矩阵的概念，以及它们的性质。
  四、线性方程组
  考试内容
  线性方程组的克莱姆(Cramer)法则  齐次线性方程组有非零解的充分必要条件  非齐次线性方程组有解的充分必要条件  线性方程解的性质和解的结构  齐次线性方程组的基础解系和通解  解空间  非齐次线性方程组的通解  行初变换求解线性方程组的方法。
  考试要求
  1．掌握克莱姆法则。
  2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
  3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。
  4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
  5．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。
  五、矩阵的特征值和特征向量
  考试内容
  矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法  相似变换、相似矩阵的概念及性质  矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵  实对称矩阵特征值和特征向量及相似对角矩阵。
  考试要求
  1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
  2．了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
  3．了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
  六、二次型
  考试内容
  二次型及其矩阵表示  合同变换与合同矩阵  二次型的秩  惯性定理  二次型的标准形和规范形  用正交变换和配方法化二次型为标准形  二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。
  考试要求
  1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准型、规范形的概念，了解惯性定理。
  2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法。
  3．了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。
  试卷结构
  (一)内容比例
  高等数学  约70%；线性代数  约30%；
  (二)题型比例
  填空题与选择题  约30%
  解答题(包括证明题)  约70%
  总分：150分

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